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Cómo
estudiar matemáticas avanzadas y hacer demostraciones en matematicas
Las matemáticas avanzadas confían sobre todo en definiciones,
demostraciones, y notación, así que nos concentraremos en esas áreas. La
primera cosa que uno puede hacer es encontrar un buen libro;
pregúntele al profesor, otros estudiantes, vea esta lista de libros, o visite Reverte, Mir, McGraw-Hill España,
Trillas, o Agapea.com para ver que tipo de libros están disponibles
en español. Un buen libro puede diferenciar entre aprendiendo el material
y progresando en el libro, y estancándose en ejemplos mal explicados y
ejercicios excesivamente difíciles.
M.I.T. (Massachusetts Institute of Technology) es
una de las mejores universidades
en el mundo. M.I.T. tiene un sitio donde
todos los currículos de estudio, lecturas, exámenes, tareas, y proyectos de
todos sus cursos están publicados, gratis para que cualquier persona que
tenga acceso. Uno puede utilizar el sitio para encontrar buenas referencias
de libros y para ayudar a planear lo que uno debe estudiar.
Si tuviera que abreviar esta página entera en
solamente una oración sería; si uno desea aprender cómo hacer
demostraciones en matemáticas uno debe emular los procesos de
razonamiento de los que escriben las demostraciones. Lo más que uno emula
lo más que su mente se forma para pensar como los que escriben las
demostraciones, hasta que uno pueda escribir sus propias demostraciones.
Las demostraciones son más complicadas; uno debe
primero aprender algo de las estructuras lógicas básicas de las demostraciones,
directo, la contradicción, y el inverso. Por experiencia, he aprendió que los materiales siguientes enseñan
cómo escribir demostraciones correctamente, pero no enseñan cómo derivar o
deducir las demostraciones en un área específica de matemáticas (por
favor piense en este punto, es muy sutil). Hay muchos buenos libros
de cómo resolver demostraciones,
uno de los mejores es:
Como Entender y Hacer
Demostraciones en Matemáticas
por Daniel Solow Baja con emule
Baja Directamente
Aquí está una introducción
muy básica a las demostraciones
Intro
Aquí está un sitio con una
buena introducción a las demostraciones.
Cómo escribir demostraciones
Un buen libro de cómo solucionar
problemas matemáticas avanzadas
La matemática elegante.
Problemas y soluciones detalladas
Escriba
cada ejemplo, definición, y problema en el sitio o documentos mencionados
arriba. Uno puede utilizar los documentos concurrentemente
con sus clases
Casi cada tema matemático confía en temas más
básicos. Casi todo lo que uno aprende depende de la maestría de temas
anteriores. Idealmente, uno debe comenzar a aplicar las técnicas del
principio del libro o semestre. Si uno esta en medio de su libro o semestre
la mejor cosa que uno debe hacer es ir de nuevo a la sección pasada que uno
si entendía completamente, y aplicar las técnicas descritas abajo.
A veces el tema entero es muy avanzado para su nivel
de maestría, si esto es el caso váyase de nuevo al tema pasado más reciente
que uno entendía completamente y comience allí. Uno eventualmente dominará el
tema original, pero uno necesita entender temas anteriores primero.
Una vez que uno consiga sus libros, lea cada sección
cuidadosamente, después uno debe ir de nuevo al principio de la sección y
memorice todas las definiciones, reglas, y notación. Entonces, para cada
sección, escriba lo que memorizo en un papel uno por uno de memoria sin mirar
en el libro. Todo lo que uno escriba debe ser exactamente iguale a lo que
esta' en el libro si no, escríbalo hasta que este perfecto. Aplique cada
definición a un ejemplo, aplique cada regla a un ejemplo, y aplique cada
notación a un ejemplo etcétera. Usted debe tener un ejemplo listo para todo
que uno memorice.
Anotando todo es importante porque cuando estamos
aprendiendo un nuevo concepto matemático es difícil de ver, en nuestra mente,
qué está pasando exactamente con la notación. Además es fácil perder de vista
todos los pequeños detalles. También uno debe hacer una conexión entre los
conceptos y la notación, ésta es generalmente la
razón por la que no podemos entender o aplicar un concepto matemático.
En las matemáticas avanzadas la notación ocupa un
papel más importante que en matemáticas básicas. Cuando está examinando una
conjetura o simplemente probando la conjetura en varios casos, a veces es
obvio a nosotros que es verdad o falso. Generalmente tenemos una idea de cómo
probar la conjetura, pero una idea no basta, la ejecución es lo que cuenta.
La única manera de probar la conjetura es manipulando la notación y ocupándose
de sus reglas, ésta es la razón por la que las demostraciones son tan
difíciles. Nuestra ejecución de la idea es restringida por las reglas de la
notación, esto es bueno por que nuestra idea puede ser incorrecta. La
notación es lo que nos mantiene honestos y nos dirige hacia verdad. Puede ser
que a veces necesitamos crear nuevas ideas y notación para probar una
conjetura, si esto es el caso, no va ser posible probar la conjetura con
nuestro conocimiento actual, nunca lo podremos saber hasta que se pruebe la
conjetura.
Vamos a tomar un camino diferente para aprender
matemáticas avanzadas. Esto se
debe a la dificultad de las matemáticas avanzadas y las demostraciones. Al
principio simplemente vamos a memorizar todo.
Después de leer la sección, uno debe regresarse y
revisar los ejemplos y demostraciones, anote cada ejemplo y
demostración y resuelva cada pequeño detalle. Revise cada ejemplo y
demostración y descubra cómo trabaja; que definiciones utilizaron, que
ejemplos utilizaron, que conceptos utilizaron, que métodos utilizaron, qué
estrategias utilizaron, y qué herramientas utilizaron para conseguir la
respuesta. Después memorice los
ejemplos y demostraciones, y memorice lo que uno aprendió. Entonces anote cada
ejemplo y demostración uno por uno, de memoria, sin mirar el libro. Lo que
uno escribe debe ser exactamente iguale a lo del libro, si no, uno debe
seguir anotándolo hasta que sean perfectos. Preste atención a todos los
detalles no importa que pequeño, esto es muy importante.
La actitud peor es ver cada paso en una
demostración como una línea que sigue terminantemente de la línea anterior.
Hay muchos pasos lógicamente posibles que podrían seguir de cualquier
línea, uno debe buscar una explicación porqué este paso particular fue
tomado. Para hacer eso uno debe entender cómo este paso se relaciona no
solamente con el paso anterior o después pero cómo se relaciona con la
demostración entera, cómo se relaciona con el resultado, cómo este paso avanza
la línea de razonamiento. Uno desea entender el proceso de razonamiento
de la persona que escribió la demostración. Por supuesto como principiante,
esto puede ser difícil, pero si uno practica esto cuando las demostraciones
son fáciles, será más fácil hacer esto cuando las demostraciones son
avanzadas.
Porque
nuestras memorias no son perfectas se nos olvidarán generalmente un pequeño
paso en nuestro ejemplo o demostración. Generalmente el paso es tan pequeño
que uno podría completar el paso usando su propio razonamiento. Al principio
los pequeños pasos también serán difíciles; uno debe ver el libro, analizar
el pequeño paso y terminar el ejemplo o demostración. Anote el ejemplo o
demostración otra vez de memoria, sin mirar en el libro, hasta que sea
perfecta.
La memorización es importante porque entrena a la
mente a prestar atención a los pequeños detalles, son muy importantes en
matemáticas avanzadas. Si uno no entiende algún concepto o demostración al
nivel de su intuición, revécelo todo los días asta que uno lo entienda al
nivel de su intuición.
Después
de un tiempo, uno comenzará a notar que muchas demostraciones utilizan las
mismas estrategias repetidamente, uno comenzará a confiar menos en la memoria
y más en el razonamiento, uno debe imitar las demostraciones
que uno memoriza, si un cierto método, herramienta, estrategia, o truco fue
útil para una demostración similar intente usarlo otra vez. Luego repase
los ejemplos y las demostraciones en su mente, en detalle completo, sin
escribir cualquier cosa.
Uno debe tomar un poco de tiempo diariamente para
revisar o re-derivar las demostraciones criticas, de esta manera uno
recordará demostraciones importantes y construirá su comprensión
"intuitiva" del tema. Lo más que uno practica derivando las
demostraciones a teoremas de la manera como el libro las presenta, lo más que
su mente comenzará a formarse para demostrar otros teoremas.
Las matemáticas avanzadas confían mucho en los
ejemplos especiales, uno sabrá qué ejemplos son especiales observando cuántas
veces se utilizan en el libro; memorice y entienda estos ejemplos al detalle
más pequeño. La mayoría de los teoremas se aplican a los ejemplos especiales,
para ver como trabajan en ejemplos concretos. Los ejemplos especiales también
se utilizan como contraejemplos a las conjeturas, y teoremas, si uno omite
uno o mucho de las condiciones.
Algunos libros tienen muy pocos ejemplos o
explicaciones, si éste es el caso uno debe conseguirse un esbozo de Schaum’s
y trabajar con los ejemplos. Si no, consígase otro libro con más ejemplos y
mejores explicaciones. Trabaje a través del libro fácil de entender y
utilícelo para entender el libro más difícil. Uno siempre puede encontrar
otro libro en su tema, el único problema es encontrándolos en español,
incluso si es funciones de Univalent en los espacios de Teichmuller, o un
curso en álgebra homological, vaya a su universidad o biblioteca pública,
visite el sitio Mir, o Agapea.com y busque por un libro en su tema.
Después de que uno haya aplicado el procedimiento a varios
secciones uno puede sentirse bastante confidente a re-derivar la
solución a un ejemplo o la demostración a un teorema sin mirar en el libro. Esfuércese
para re-derivar las demostraciones, si uno no puede re-derivar las
demostraciones simplemente memorícelas y sigue los procedimientos arriba.
También uno debe revisar todo los conceptos y demostraciones, todo los días
asta que uno lo entienda al nivel de su intuición.
Re-derivando o intentando a re-derivar las
demostraciones en el libro permite que uno entienda completamente cómo uno
habría podido derivar esas demostraciones desde su comprensión de los
conceptos. Ésta es la meta final
Una vez que uno pueda hacer esto confiablemente
(significando que sus demostraciones se miran exactamente igual o similar a
los del libro) y en una cantidad de tiempo razonable, uno puede resolver
simplemente los detalles de cada ejemplo y demostraciones sin la
memorización.
Si uno sigue el procedimiento a través del semestre
entero, uno comenzará a notar que las demostraciones en la tarea y examines
serán más fáciles de resolver.
Comprobación
de sus demostraciones; El poder del pensamiento negativo
Cuando uno piensa que a resolvió la demostración,
comprobándolo es casi tan importante como derivándolo. Generalmente, sus demostraciones
contendrán muchas pequeñas partes y cualquier de esas partes pueden ser
incorrectas. Lo qué uno debe hacer es dejar de pensar en la demostración por
mas o menos una hora, vea televisión, toma una caminata, o haga algo no
relacionado a su demostración. Después vuelva a su demostración y intente
encontrar algo incorrecto con su demostración. Tome una actitud negativa
y crea que su demostración esta incorrecto. Esfuércese para encontrar algo
incorrecto con cada demostración, no importa que pequeño. Si uno encuentra
algo incorrecto, corregirlo. A veces lo que uno encuentra es crítico para la
demostración. Si esto es el caso uno tendrá que modificar la demostración
entera y comenzar otra ves. Si después de un rato, uno no puede encontrar
algo incorrecto, puede ser que su demostración es correcta.
Lograríamos muchas más cosas si no pensamos en ellas
como imposible. - C. Malesherbes
Un matemático es una máquina para convertir café en
teoremas. - Paul Erdos
La imaginación es tan vital a cualquier avance en
ciencia como la educación y la precisión son esenciales como bases. Déjeme
advertirle que se guarde de dos errores opuestos: de dejar su imaginación
elévese sin apoyo de los hechos, pero por otra parte, de encadenándola tan
sólidamente que pierde todo el incentivo para levantarse.
-
Percival Lowell
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