Cómo estudiar matemáticas avanzadas y hacer demostraciones en matematicas

Las matemáticas avanzadas confían sobre todo en definiciones, demostraciones, y notación, así que nos concentraremos en esas áreas. La primera cosa que uno puede hacer es encontrar un buen libro; pregúntele al profesor, otros estudiantes, vea esta lista de libros, o visite Reverte, Mir, McGraw-Hill España, Trillas, o Agapea.com para ver que tipo de libros están disponibles en español. Un buen libro puede diferenciar entre aprendiendo el material y progresando en el libro, y estancándose en ejemplos mal explicados y ejercicios excesivamente difíciles.

M.I.T. (Massachusetts Institute of Technology) es una de las mejores universidades en el mundo. M.I.T. tiene un sitio donde todos los currículos de estudio, lecturas, exámenes, tareas, y proyectos de todos sus cursos están publicados, gratis para que cualquier persona que tenga acceso. Uno puede utilizar el sitio para encontrar buenas referencias de libros y para ayudar a planear lo que uno debe estudiar.

Si tuviera que abreviar esta página entera en solamente una oración sería; si uno desea aprender cómo hacer demostraciones en matemáticas uno debe emular los procesos de razonamiento de los que escriben las demostraciones. Lo más que uno emula lo más que su mente se forma para pensar como los que escriben las demostraciones, hasta que uno pueda escribir sus propias demostraciones.

Las demostraciones son más complicadas; uno debe primero aprender algo de las estructuras lógicas básicas de las demostraciones, directo, la contradicción, y el inverso. Por experiencia, he aprendió que los materiales siguientes enseñan cómo escribir demostraciones correctamente, pero no enseñan cómo derivar o deducir las demostraciones en un área específica de matemáticas (por favor piense en este punto, es muy sutil). Hay muchos buenos libros de cómo resolver demostraciones,  uno de los mejores es:

Como Entender y Hacer Demostraciones en Matemáticas

por Daniel Solow Baja con emule

Baja Directamente

Aquí está una introducción muy básica a las demostraciones

Intro

Aquí está un sitio con una buena introducción a las demostraciones.

Cómo escribir demostraciones

Un buen libro de cómo solucionar problemas matemáticas avanzadas

La matemática elegante. Problemas y soluciones detalladas

Escriba cada ejemplo, definición, y problema en el sitio o documentos mencionados arriba. Uno puede utilizar los documentos concurrentemente con sus clases

Casi cada tema matemático confía en temas más básicos. Casi todo lo que uno aprende depende de la maestría de temas anteriores. Idealmente, uno debe comenzar a aplicar las técnicas del principio del libro o semestre. Si uno esta en medio de su libro o semestre la mejor cosa que uno debe hacer es ir de nuevo a la sección pasada que uno si entendía completamente, y aplicar las técnicas descritas abajo.

A veces el tema entero es muy avanzado para su nivel de maestría, si esto es el caso váyase de nuevo al tema pasado más reciente que uno entendía completamente y comience allí. Uno eventualmente dominará el tema original, pero uno necesita entender temas anteriores primero.

Una vez que uno consiga sus libros, lea cada sección cuidadosamente, después uno debe ir de nuevo al principio de la sección y memorice todas las definiciones, reglas, y notación. Entonces, para cada sección, escriba lo que memorizo en un papel uno por uno de memoria sin mirar en el libro. Todo lo que uno escriba debe ser exactamente iguale a lo que esta' en el libro si no, escríbalo hasta que este perfecto. Aplique cada definición a un ejemplo, aplique cada regla a un ejemplo, y aplique cada notación a un ejemplo etcétera. Usted debe tener un ejemplo listo para todo que uno memorice.

Anotando todo es importante porque cuando estamos aprendiendo un nuevo concepto matemático es difícil de ver, en nuestra mente, qué está pasando exactamente con la notación. Además es fácil perder de vista todos los pequeños detalles. También uno debe hacer una conexión entre los conceptos y la notación, ésta es generalmente la razón por la que no podemos entender o aplicar un concepto matemático.

En las matemáticas avanzadas la notación ocupa un papel más importante que en matemáticas básicas. Cuando está examinando una conjetura o simplemente probando la conjetura en varios casos, a veces es obvio a nosotros que es verdad o falso. Generalmente tenemos una idea de cómo probar la conjetura, pero una idea no basta, la ejecución es lo que cuenta. La única manera de probar la conjetura es manipulando la notación y ocupándose de sus reglas, ésta es la razón por la que las demostraciones son tan difíciles. Nuestra ejecución de la idea es restringida por las reglas de la notación, esto es bueno por que nuestra idea puede ser incorrecta. La notación es lo que nos mantiene honestos y nos dirige hacia verdad. Puede ser que a veces necesitamos crear nuevas ideas y notación para probar una conjetura, si esto es el caso, no va ser posible probar la conjetura con nuestro conocimiento actual, nunca lo podremos saber hasta que se pruebe la conjetura.

Vamos a tomar un camino diferente para aprender matemáticas avanzadas. Esto  se debe a la dificultad de las matemáticas avanzadas y las demostraciones. Al principio simplemente vamos a memorizar todo.

Después de leer la sección, uno debe regresarse y revisar los ejemplos y demostraciones, anote cada ejemplo y demostración y resuelva cada pequeño detalle. Revise cada ejemplo y demostración y descubra cómo trabaja; que definiciones utilizaron, que ejemplos utilizaron, que conceptos utilizaron, que métodos utilizaron, qué estrategias utilizaron, y qué herramientas utilizaron para conseguir la respuesta. Después  memorice los ejemplos y demostraciones, y memorice lo que uno aprendió. Entonces anote cada ejemplo y demostración uno por uno, de memoria, sin mirar el libro. Lo que uno escribe debe ser exactamente iguale a lo del libro, si no, uno debe seguir anotándolo hasta que sean perfectos. Preste atención a todos los detalles no importa que pequeño, esto es muy importante.

La actitud peor es ver cada paso en una demostración como una línea que sigue terminantemente de la línea anterior. Hay muchos pasos lógicamente posibles que podrían seguir de cualquier línea, uno debe buscar una explicación porqué este paso particular fue tomado. Para hacer eso uno debe entender cómo este paso se relaciona no solamente con el paso anterior o después pero cómo se relaciona con la demostración entera, cómo se relaciona con el resultado, cómo este paso avanza la línea de razonamiento. Uno desea entender el proceso de razonamiento de la persona que escribió la demostración. Por supuesto como principiante, esto puede ser difícil, pero si uno practica esto cuando las demostraciones son fáciles, será más fácil hacer esto cuando las demostraciones son avanzadas.

Porque nuestras memorias no son perfectas se nos olvidarán generalmente un pequeño paso en nuestro ejemplo o demostración. Generalmente el paso es tan pequeño que uno podría completar el paso usando su propio razonamiento. Al principio los pequeños pasos también serán difíciles; uno debe ver el libro, analizar el pequeño paso y terminar el ejemplo o demostración. Anote el ejemplo o demostración otra vez de memoria, sin mirar en el libro, hasta que sea perfecta.

La memorización es importante porque entrena a la mente a prestar atención a los pequeños detalles, son muy importantes en matemáticas avanzadas. Si uno no entiende algún concepto o demostración al nivel de su intuición, revécelo todo los días asta que uno lo entienda al nivel de su intuición.

Después de un tiempo, uno comenzará a notar que muchas demostraciones utilizan las mismas estrategias repetidamente, uno comenzará a confiar menos en la memoria y más en el razonamiento, uno debe imitar las demostraciones que uno memoriza, si un cierto método, herramienta, estrategia, o truco fue útil para una demostración similar intente usarlo otra vez. Luego repase los ejemplos y las demostraciones en su mente, en detalle completo, sin escribir cualquier cosa.

Uno debe tomar un poco de tiempo diariamente para revisar o re-derivar las demostraciones criticas, de esta manera uno recordará demostraciones importantes y construirá su comprensión "intuitiva" del tema. Lo más que uno practica derivando las demostraciones a teoremas de la manera como el libro las presenta, lo más que su mente comenzará a formarse para demostrar otros teoremas.

Las matemáticas avanzadas confían mucho en los ejemplos especiales, uno sabrá qué ejemplos son especiales observando cuántas veces se utilizan en el libro; memorice y entienda estos ejemplos al detalle más pequeño. La mayoría de los teoremas se aplican a los ejemplos especiales, para ver como trabajan en ejemplos concretos. Los ejemplos especiales también se utilizan como contraejemplos a las conjeturas, y teoremas, si uno omite uno o mucho de las condiciones.

Algunos libros tienen muy pocos ejemplos o explicaciones, si éste es el caso uno debe conseguirse un esbozo de Schaum’s y trabajar con los ejemplos. Si no, consígase otro libro con más ejemplos y mejores explicaciones. Trabaje a través del libro fácil de entender y utilícelo para entender el libro más difícil. Uno siempre puede encontrar otro libro en su tema, el único problema es encontrándolos en español, incluso si es funciones de Univalent en los espacios de Teichmuller, o un curso en álgebra homological, vaya a su universidad o biblioteca pública, visite el sitio Mir, o Agapea.com y busque por un libro en su tema.

Después de que uno haya aplicado el procedimiento a varios secciones uno puede sentirse bastante confidente a re-derivar la solución a un ejemplo o la demostración a un teorema sin mirar en el libro. Esfuércese para re-derivar las demostraciones, si uno no puede re-derivar las demostraciones simplemente memorícelas y sigue los procedimientos arriba. También uno debe revisar todo los conceptos y demostraciones, todo los días asta que uno lo entienda al nivel de su intuición. 

Re-derivando o intentando a re-derivar las demostraciones en el libro permite que uno entienda completamente cómo uno habría podido derivar esas demostraciones desde su comprensión de los conceptos. Ésta es la meta final

Una vez que uno pueda hacer esto confiablemente (significando que sus demostraciones se miran exactamente igual o similar a los del libro) y en una cantidad de tiempo razonable, uno puede resolver simplemente los detalles de cada ejemplo y demostraciones sin la memorización.

Si uno sigue el procedimiento a través del semestre entero, uno comenzará a notar que las demostraciones en la tarea y examines serán más fáciles de resolver.

Comprobación de sus demostraciones; El poder del pensamiento negativo

Cuando uno piensa que a resolvió la demostración, comprobándolo es casi tan importante como derivándolo. Generalmente, sus demostraciones contendrán muchas pequeñas partes y cualquier de esas partes pueden ser incorrectas. Lo qué uno debe hacer es dejar de pensar en la demostración por mas o menos una hora, vea televisión, toma una caminata, o haga algo no relacionado a su demostración. Después vuelva a su demostración y intente encontrar algo incorrecto con su demostración. Tome una actitud negativa y crea que su demostración esta incorrecto. Esfuércese para encontrar algo incorrecto con cada demostración, no importa que pequeño. Si uno encuentra algo incorrecto, corregirlo. A veces lo que uno encuentra es crítico para la demostración. Si esto es el caso uno tendrá que modificar la demostración entera y comenzar otra ves. Si después de un rato, uno no puede encontrar algo incorrecto, puede ser que su demostración es correcta.

Lograríamos muchas más cosas si no pensamos en ellas como imposible. - C. Malesherbes

Un matemático es una máquina para convertir café en teoremas. - Paul Erdos

La imaginación es tan vital a cualquier avance en ciencia como la educación y la precisión son esenciales como bases. Déjeme advertirle que se guarde de dos errores opuestos: de dejar su imaginación elévese sin apoyo de los hechos, pero por otra parte, de encadenándola tan sólidamente que pierde todo el incentivo para levantarse.
- Percival Lowell

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